SÝTE Hareketi - Üçgen

Üçgen, düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir.

Düzlem geometrisinin temel şekillerinden biridir. Bir üçgenin üç köşesi ve bu köşeleri birleştiren, doğru parçalarından oluşan üç kenarı vardır. Bir Üçgenin iç açılarının toplamı 180° dış açılarının toplamı 360°'dir.

$[A B] U [A C] U [B C] = A B C$

Burada;

A, B, C noktaları üçgenin köşeleri ve $[A B],[A C],[B C]$ doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır. $α$ , $β$ ve $γ$ üçgenin iç açılarıdır.

Konu başlıkları

[gizle]

Matematiksel tanım [değiştir]

Yukarıda anlatılan biçimiyle (Öklit düzleminde) üçgen, [Riemann geometrisinde daha genel bir nesnenin özel bir durumudur. X bir Riemann uzayı ve A, B, C, bu uzayın birbirine doğrusal olmayan üç noktası olsun. Bu üç noktanın her bir çifti arasında birer kesel (jeodezik) seçilsin. Bu üç keselin birleşimine ABC üçgeni denir. Örneğin, bir Riemann yüzeyi olarak dünya yüzeyinde, kuzey kutbundan 0 meridyeniyle ekvatora, ekvator boyunca 90. doğu meridyenine, bu meridyen boyunca geri kuzey kutbuna çıkan eğri, bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin iç açıları toplamı 270°'dir.

Daha genel olarak, bir topolojik uzayda verilen herhangi üç noktayı birleştiren herhangi üç eğrinin birleşimine bir üçgen denir. İki boyutlu bir çokkatlı bu tür üçgenlerin (belli özellikleri sağlayan) birleşimi olarak ifade edildiğinde, bu üçgenler topluluğuna çokkatlının üçgenlenmesi denir.

Aşağıdaki özellikler, Öklit düzlemindeki üçgenlere aittir.

Üçgenin açıları [değiştir]

Üçgenin dış açıları

Üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olduğunun ispatı

BAC, ABC ve ACB üçgenin içaçılarıdır.

$| B C | = a$ , $| A B | = c$ ve $| A C | = b$

$α$ + $β$ + $γ$ =180°

Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

Bir ABC üçgenine, A tepe noktasından teğet geçecek ve BC ye paralel olacak şekilde bir doğru çizildiğinde, BC doğru parçasının açıları, iç ters açılar kuralından dolayı tepe açısının yanına gelerek bir doğru parçasının yarısını kaplarlar.

Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Bir ABD üçgenine, D tepe noktasından teğet geçecek ve taban olan BC ye paralel olacak şekilde bir doğru çizilip kenarlar uzatıldığında, yöndeş açılar kuralı yardımıyla bu önerme kanıtlanabilir.

Üçgenlerin türleri [değiştir]

Üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların (köşe, kenar, açılar vb.) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir. Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse düzlemsel, diğer durumlarda da örneğin küresel ya da hiperbolik üçgen terimleri kullanılır.

Kenarlarına Göre [değiştir]


Eşkenar	İkizkenar	Çeşitkenar

Eşkenar Üçgen [değiştir]

Ana madde: Eşkenar Üçgen

Tüm kenarları eşit olan üçgendir. Tüm iç açıları 60°'dir. Tabanlara indirilen dikmeler hem açıortay, hem de kenarortaydır.

İkiz Kenar Üçgen [değiştir]

Ana madde: İkizkenar Üçgen

İki kenarı eşit olan üçgenlerdir. Ayrıca iki açısı birbirine eşitir. Eşit olmayan kenara indirilen dikme hem açıortay hem kenarortay özelliği gösterir

Çeşit Kenar Üçgen [değiştir]

Her kenarının uzunluğu farklı olan üçgenlerdir. Tüm iç açıları birbirinden farklıdır.

Açılarına Göre [değiştir]

Dar Açılı Üçgen [değiştir]

Açıları 0-90 arası olan üçgenlerdir.

Dik Üçgen [değiştir]

Ana madde: Dik Üçgen

Bir açısı dik (90°) olan üçgenlerdir. Bu üçgenlerde yükseklik dik kenarlardan biridir. En uzun kenarına hipotenüs denir.

Geniş Açılı Üçgen [değiştir]

Açılarından biri 90°'den geniş olan üçgenlerdir. Sadece bir tek kenarı geniş açı olabilir. Tabana ait yükseklik tabanın uzantısı ile kesişir.

Üçgen Bağıntıları [değiştir]

Pisagor Bağıntısı [değiştir]

Bir dik üçgenin dik kenarlarına 'a' ve 'b' dersek hipotenüs'ün karesi bu kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Buna Pisagor Teoremi denir. Yani:

$a^2+b^2=c^2$ .

Alan Hesaplaması [değiştir]

Kenardan Yararlanma [değiştir]

Alan hesaplaması

Bir üçgenin alanı taban ve tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır:

$frac{h.b}{2}=A(ABC)$

Açıdan Yararlanma [değiştir]

Bir üçgenin alanı herhangi iki kenarını ile aralarında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısıdır.
$A(ABC)=frac{a.b.singamma}{2}$

Heron Yöntemi [değiştir]

Çevre uzunluğuna 2u, yarısına dersek alan:

$A(ABC)=sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)}$

Kosinüs Teoremi [değiştir]

Herhangi bir üçgende a, b, c kenarlarını alalım. a ve b arasında kalan açı da alfa( $α$ ) olsun. c kenarını bulmak için kullanılacak formül:

$c=sqrt{a^2+b^2-2ab.cosalpha}$

Üçgende Yardımcı Elemanlar [değiştir]

Açıortay [değiştir]

Ana madde: Açıortay

Bir açıyı iki eş açıya bölen doğru veya doğru parçasına açıortay denir. Açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin içteğet çemberidir.

Açıortay

$frac{|AC|}{|CD|}=frac{|AB|}{|DB|}$

Açıortay Uzunluğu [değiştir]

$|AD|=sqrt{|AC||AB|-|BD||DC|}$

Kenarortay [değiştir]

Ana madde: Kenarortay

Kenarortaylar ve ağırlık merkezi

Bir üçgende bir köşeden karşısındaki kenara uzatılan doğru bu kenarı iki eş parçaya bölüyorsa buna kenarortay denir.Bir üçgende kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir. G harfi ile gösterilir.

Ağırlık merkezi, bir kenarortayı $2 n$ ve $n$ olarak böler. Yani köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek;
$| A G | = 2 | G D |$ olur.

Kenarortay teoremi [değiştir]

$2V^2_a=b^2+c^2-frac{a^2}{2}$

Üçgen İle İlgili Teoremler [değiştir]

Seva Teoremi [değiştir]

Seva Teoremi'nin uygulandığı üçgen

Seva teoremi, üçgenin köşelerinden karşıdaki kenarın herhangi bir noktasına çizilen doğrulardan oluşan şekilde uygulanan bir teoremdir. Uygulaması şu şekildedir:

$frac{|CE|}{|EA|}.frac{|AF|}{|FB|}.frac{|BD|}{|DC|}=1$

Menelaus Teoremi [değiştir]

Menelaus Teoremi

Üçgenle aynı düzlemde olan ve üçgenin köşelerinden geçmeyen herhangi bir doğrunun, üçgenin bir kenarının uzantısıyla kesişim noktalarının üçgenin köşelerine uzaklıkları arasındaki ilişkiyi anlatan teoremdir. Uygulaması:

$frac{|FB|}{|FA|}.frac{|AE|}{|EC|}.frac{|CD|}{|DF|}=1$